Amazon y Google siguen peleándose haber quien es el Macho Alfa.
Mientras tanto, los usuarios con Chromecast sin intenciones de comprar otro cacharro (Fire TV) nos tenemos que buscar la vida.
Chapuzas varias. Usar Chrome para enviar la pantalla (ahora al menos envía sólo el vídeo), compartir la pantalla del movil con el consiguiente drenaje de batería. Todas y cada una de las soluciones una chapuza peor que otra.

¿Y qué pasa cuándo tenemos el ordenador en otra habitación? Pues que te jodes.
O
Haces lo siguiente, que no deja de ser una chapuza más, pero al menos no drenas tu batería.

Instalas TeamViewer en el PC y en tu móvil. Con éste software puedes entrar en tu ordenador y controlarlo con el móvil cómo si estuviese delante de él.
Ahora puedes lanzar el Chrome y, desde éste, enviar el vídeo de Prime a un Chromecast que esté conectado a la misma red.
Ya puedes apagar la pantalla del teléfono.

No es lo mejor, pero es lo que hay.
Si alguien conoce una forma mejor, compartidla.