tu lo que quieres es convertir la señal de video y pasarla por la red si lo entiendo asi

dicho de mejor forma tu quieres hdmi a rj45 no (cat5 o 6 como dices ) eso son calidades de cable y velocidades que soporta

osea la arquitectura seria hdmi reproductor ---> rj45 por red rj45 ------> hdmi emisor

Extensor de Señal HDMI por RJ45 EXT_HDMI_RJ45 Adaptador