Veo que tu A/V no tiene I/O HDMI. La solución a todas tus preguntas es que trates de actualizar el amplificador.
Alguno con varias entradas HDMI y al menos dos salidas HDMI (si son insuladas, mejor) y un reproductor tipo tvbox o Fire Stick te hacen la papeleta.
Entiendo que no va a ser lo más económico, pero será lo más práctico. Tal vez puedas mirarte algo en la sección compraventa.

Para llevar señal de video al proyector, pon un cable HDMI de buena calidad pensando en el futuro. No tienes mucha distancia y tienes mucho espacio para ocultarlo.

El audio debes conectarlo directamente desde el reproductor al A/V. No hace falta traer un cable desde el proyector.