El fire tv aún que sea un stick no implica necesariamente que deba ir conectado directamente al propio proyector, puede ir a través de un avr o lo que te de la gana.

Has considerado la opción del apple tv 4k? Yo lo tengo y no puedo estar más contento, de hecho si tuviese que volver atrás, o compraba la nvidia shield, o el apple tv, y probablemente, a pesar de que la shield soporta más formatos y opciones, me quedaría de nuevo con el apple tv por la interfaz y el sistema