Si es para jugar (y sin ser jugador, por lo que tengo poca idea) deberías priorizar el input lag.
El tiro del proyector es la distancia a la que deberás colocar la lente del proyector de la superficie de la pantalla para lograr el tamaño que necesites/desees.
Puedes conectar cualquier dispositivo al proyector que tenga la salida de vídeo adecuada. Así, si quieres ver la tele con él, deberías conectarle un sintonizador de TDT. Si quieres ver un disco bluray, debes conectarle un reproductor y si quieres ver películas bajadas de internet debes conectar algún dispositivo que puede ser desde un disco multimedia, un Chromecast, un pincho Android, una Raspberry o un PC, por ejemplo.
Creo que para que los compañeros del foro te puedan orientar un poco mejor, deberás aportar más datos. Lugar de uso, facilidades de instalación, distancias y presupuesto.