Cuentame qué es eso de las películas gratis de Prime porque que yo sepa, pagas Prime una vez al año y rienes el acceso al VoD y al envío de productos. Nunca ví que puedas ver una película si no eres Prime (que lo hayas pagado).
Y claro que tienes que tener un medio de pago en tu cuenta de Amazon. Si no lo tienes, las compras no funcionan.

Con un Fire lo solucionas seguro si la cuenta está activa. No sólo solucionas Prime sino todas las VoD a su máxima calidad.

Algo que te puede estar pasando es que la app que trae el proyector no sea actual. ¿Has probado desinsatalarla y volverla a instalar?

¿De dónde eres? Yo tengo un Fire 4K de más que te puedo dejar para que pruebes. Aunque si eres Prime, te convendrá pedir uno a Amazon y si no te sirve lo devuelves.