La forma mas sencilla es con un NAS tipo Synology que es como lo tengo yo.
La mas barata ya es otra cosa.
Un disco externo conectado al router, tienes que tener un router con entrada usb y que su software te deje poner en red dicha entrada. No todos los router lo permiten.
Otra opcion es conectar el disco externo (o poner otro interno) al ordenador y compartirlo desde ahí, pero te obliga a tener el pc encendido.

Por lo tanto volvemos a la opcion 1