Es posible que la conexión HDMI no funcione adecuadamente en tu AVR, y tocaría ejercer la devolución o reparación en garantía.

Pero podría ser que el problema fuese del tipo de audio que admite el TV (¿cuál es?) y que le envías desde la XBOX.

Esto es sencillo de comprobar, conecta directamente la Xbox por HDMI al TV y prueba con las distintas opciones de audio (Dolby y PCM), si se oye alguna, esa misma tendría que oírse también al poner el AVR en standby.

Otra prueba: comprueba si oyes el sonido por el TV cuando eliges la configuración de audio del HDMI en TV o en Amp+TV, eso indica que el TV si acepta el sonido que envías, y si pones en standby (configurada esta función en On) el AVR debería seguir oyéndose.

Ya para terminar, si nada de lo anterior consigue que el AVR pase audio en standby, y sí se oye el TV cuando está el AVR encendido, ¿podrías decirnos qué formatos de audio tienes seleccionados en la Xbox?. Estoy pensando que igual sale PCM a resolución de 96kHz y eso no lo leiría el TV, pudiendo suceder que al pasar por el AVR estando encendido este haga un downmix a 44 kHz.